求证广义积分(上限1,下限0）1/x^a在a

Question

求证广义积分(上限1,下限0）1/x^a在a

Answer 1

a≠1时
∫(0→1)dx/x^a
=∫(0→1)x^(-a)dx
=x^(1-a)/(1-a)|(0→1)
=lim(t→0+)x^(1-a)/(1-a)|(t→1)
a1时,原式=lim(t→0+)1/(1-a)*1/x^(a-1)|(t→1),这个极限不存在,即发散
当a=1时,原式=lnx|(0→1),这个极限不存在,即发散
综上,……