如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．

Question

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．

（1）求证：△CDF∽△BGF；
（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．

Answer 1

（1）证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，
∴∠CDF=∠G，∠DCF=∠GBF，（2分）
∴△CDF∽△BGF．（3分）
（2）由（1）△CDF∽△BGF，
又∵F是BC的中点，BF=FC，
∴△CDF≌△BGF，
∴DF=GF，CD=BG，（6分）
∵AB∥DC∥EF，F为BC中点，
∴E为AD中点，
∴EF是△DAG的中位线，
∴2EF=AG=AB+BG．
∴BG=2EF-AB=2×4-6=2，
∴CD=BG=2cm．（8分）