如图甲所示，两条相距l的光滑平行金属导轨位于同一竖直面（纸面）内，其上端接一阻值为R的电阻；在两导轨间OO′下方区域内有垂直导轨平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B．现使电阻

Question

如图甲所示，两条相距l的光滑平行金属导轨位于同一竖直面（纸面）内，其上端接一阻值为R的电阻；在两导轨间 OO′下方区域内有垂直导轨平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B．现使电阻为r、质量为m的金属棒ab由静止开始自 OO′位置释放，向下运动距离d后速度不再变化．（棒ab与导轨始终保持良好的电接触且下落过程中始终保持水平，导轨电阻不计）．

（1）求棒ab在向下运动距离d过程中回路产生的总焦耳热；
（2）棒ab从静止释放经过时间t₀下降了(d)/(2)，求此时刻的速度大小；
（3）如图乙在OO′上方区域加一面积为s的垂直于纸面向里的均匀磁场B'，棒ab由静止开始自 OO′上方一某一高度处释放，自棒ab运动到OO′位置开始计时，B'随时间t的变化关系B′=kt，式中k为已知常量；棒ab以速度v₀进入OO′下方磁场后立即施加一竖直外力使其保持匀速运动．求在t时刻穿过回路的总磁通量和电阻R的电功率．

Answer 1

（1）金属棒受到的安培力：F=BIl=(B2l2v)/(R+r)，
金属棒做匀速运动时速度达到稳定，由平衡条件得：(B2l2v)/(R+r)=mg，
由能量守恒定律得：mgd=Q+(1)/(2)mv²，解得：Q=mgd-(m3g2(R+r)2)/(2B4l4)；
（2）通过金属棒横截面的电荷量：
q=I△t=(E)/(R+r)△t=((△Φ)/(△t))/(R+r)△t=(△Φ)/(R+r)=(Bl×(d)/(2))/(R+r)=(Bld)/(2(R+r))，
对金属棒，由动量定理得：（mg-BIl）t₀=mv，整理得：mgt₀-Blq=mv，
解得：v=gt₀-(B2l2d)/(2m(R+r))；
（3）磁通量：Φ=Blv₀t+kts，
由法律的电磁感应定律得：E=(△Φ)/(△t)=Blv₀+ks，
电路电流：I=(E)/(R+r)，电功率：P=I²R，
解得：P=((Blv0+ks)2R)/((R+r)2)；
答：（1）棒ab在向下运动距离d过程中回路产生的总焦耳热为：mgd-(m3g2(R+r)2)/(2B4l4)；
（2）棒ab从静止释放经过时间t₀下降了(d)/(2)，此时刻的速度大小为：gt₀-(B2l2d)/(2m(R+r))；
（3）在t时刻穿过回路的总磁通量为：Blv₀t+kts，电阻R的电功率为((Blv0+ks)2R)/((R+r)2)．