如图，直线AB经过O上的点C，直线AO与O交于点E和点D，OB与O交于点F，连接DF、DC．已知OA=OB，CA=CB，DE=10，DF=6．（1）求证：①直线AB是O的切线；②∠FDC=∠EDC；（2）求CD的长．

Question

如图，直线AB经过 O上的点C，直线AO与 O交于点E和点D，OB与 O交于点F，连接DF、DC．已知OA=OB，CA=CB，DE=10，DF=6．

（1）求证：①直线AB是 O的切线；②∠FDC=∠EDC；
（2）求CD的长．

Answer 1

（1）①证明：连接OC．
∵OA=OB，AC=CB，
∴OC⊥AB，
∵点C在 O上，
∴AB是 O切线．
②证明：∵OA=OB，AC=CB，
∴∠AOC=∠BOC，
∵OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD，
∵∠AOB=∠ODF+∠OFD=∠AOC+∠BOC，
∴∠BOC=∠OFD，
∴OC∥DF，
∴∠CDF=∠OCD，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠ADC=∠CDF．
（2）作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M．
∵ON⊥DF，
∴DN=NF=3，
在RT△ODN中，∵∠OND=90°，OD=5，DN=3，
∴ON=√(OD2-DN2)=4，
∵∠OCM+∠CMN=180°，∠OCM=90°，
∴∠OCM=∠CMN=∠MNO=90°，
∴四边形OCMN是矩形，
∴ON=CM=4，MN=OC=5，
在RT△CDM中，∵∠DMC=90°，CM=4，DM=DN+MN=8，
∴CD=√(DM2+CM2)=√(82+42)=4√(5)．