已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的右焦点为F(根号3,0),离心率为(根号2)/2.(1)求该椭圆方程；(2)过点M(2,0)的直线l与圆x^2+y^2=2相切,且与椭圆交于A,B两点,求证：OA垂直OB.

Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的右焦点为F(根号3,0),离心率为(根号2)/2.(1)求该椭圆方程；(2)过点M(2,0)的直线l与圆x^2+y^2=2相切,且与椭圆交于A,B两点,求证：OA垂直OB.

Answer 1

(1)c=根号3,c/a=（根号2）/2,a^2=b^2+c^2可得a=根号6,b=根号3 椭圆方程为x^2/6+y^2/3=1
(2)画个图会发现直线l的倾斜角为45°或135°,先考虑45°时（135°同理可证）l 的方程为y=x-2,然后与椭圆方程联立,得到3X^2-8X+2=0,设A（x1,y1)B(x2,y2) 则X1*X2=2/3,然后同样算y1*y2就好了会是x1*x2的相反数,之后X1*X2+y1*y2=0,即OA⊥OB