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已知O为三角形ABC的外心,AB=2a,AC=2/a,角BAC=120度,若AO=XAB+yAC,则X+y的最小值为多少
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已知O为三角形ABC的外心,AB=2a,AC=2/a,角BAC=120度,若AO=XAB+yAC,则X+y的最小值为多少
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答案和解析
以A为原点,以AB所在的直线为x轴,建立直角系：
A（0,0）,B （2a,0）,C（- 1／a, √3／a ）,
∵O为△ABC的外心,
∴O在AB的中垂线 l1：x=a 上,又在AC的中垂线 l2 上AC的中点（- 1/2a, √3/2a）,AC的斜率为-√ 3AC的中垂线r2;y- √3／2a=√ 3／3（x+ 1／2a ）．l1和l2 联立方程组解得外心坐标O（a,√ 3a／3+2√ 3／3a）
由于AO=mAB+nAC,所以（a,√ 3a／3+2√ 3／3a）=m（2a,0）+n（- 1／a, √3／a ）,a=2am-n/a, √3a／3+2√ 3／3a=√3n／an=a^2/3+2/3 m=1/3a^2+2/3所以m+n=a^2/3+2/3+1/3a^2+2/3≥2
A（0,0）,B （2a,0）,C（- 1／a, √3／a ）,
∵O为△ABC的外心,
∴O在AB的中垂线 l1：x=a 上,又在AC的中垂线 l2 上AC的中点（- 1/2a, √3/2a）,AC的斜率为-√ 3AC的中垂线r2;y- √3／2a=√ 3／3（x+ 1／2a ）．l1和l2 联立方程组解得外心坐标O（a,√ 3a／3+2√ 3／3a）
由于AO=mAB+nAC,所以（a,√ 3a／3+2√ 3／3a）=m（2a,0）+n（- 1／a, √3／a ）,a=2am-n/a, √3a／3+2√ 3／3a=√3n／an=a^2/3+2/3 m=1/3a^2+2/3所以m+n=a^2/3+2/3+1/3a^2+2/3≥2
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