如何推导公式S△=b^2*tan(θ/2)比如知道一椭圆x^2/(a^2)+y^2/(b^2)=1,还知道两个焦点F1,F2,M是椭圆上一点,已知角F1MF2=α,求△F1MF2的面积.

Question

如何推导公式S△=b^2*tan(θ/2)
比如知道一椭圆x^2/(a^2)+y^2/(b^2)=1,还知道两个焦点F1,F2,M是椭圆上一点,已知角F1MF2=α,求△F1MF2的面积.

Answer 1

F1M=a+ex
F2M=a-ex
F!F2=2c
面积S=F1M×F2M×sina/2=(a?-e?)sina/2 (#)
F1M?+F2M?-2F1M×F2Mcosa=(2c)?(余弦定理）
+e?+2aex+a?+e?-2aex-2(a?-e?)cosa=4c?
+e?cosa=2c?+a?cosa-a?
(1+cosa)=2c?+a?cosa-a?
=(2c?+a?cosa-a?)/(1+cosa)
(#)=[a?-(2c?+a?cosa-a?)/(1+cosa)]sina/2
=(2a?-2c?)sina/(1+cosa)/2=b?sina/(1+cosa)
sina/(1+cosa)=tan(a/2) (半角公式）
∴S=(#)=b?tan(a/2)