已知函数f(x)=a^x/a^x+根号a(a>0,a≠1)（1）求证：f(x)+f(1-x)=1（2）求值：f(1/2013)+f(2/2013)+f(3/2013)+...+f(2011/2013)+f（2012/2013）

Question

已知函数f(x)=a^x/a^x+根号a(a>0,a≠1)
（1）求证：f(x)+f(1-x)=1
（2）求值：f(1/2013)+f(2/2013)+f(3/2013)+...+f(2011/2013)+f（2012/2013）

Answer 1

解:（1）f(x)+f(1-x)=a^x/(a^x+√a)+a^(1-x)/[a^(1-x)+√a]
=[2a+a^x*√a+a^(1-x)*√a]/[2a+a^x*√a+a^(1-x)*√a]=1
（2）由（1）知f(x)+f(1-x)=1
∴f(1/2013)+f(2/2013)+f(3/2013)+...+f(2011/2013)+f（2012/2013）
=f(1/2013)+f(2/2013)+f(3/2013)+...+f(1-2/2013)+f（1-1/2013）
=2012/2
=1006

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