已知：Rt△ABC斜边AB上点D，E，满足∠DCE=45°．（1）如图1，当AC=1，BC=3，且点D与A重合时，求线段BE的长；（2）如图2，当△ABC是等腰直角三角形时，求证：AD2+BE2=DE2；（3）如图3，当AC=3，BC=4时

Question

已知：Rt△ABC斜边AB上点D，E，满足∠DCE=45°．
（1）如图1，当AC=1，BC=√(3)，且点D与A重合时，求线段BE的长；
（2）如图2，当△ABC是等腰直角三角形时，求证：AD²+BE²=DE²；
（3）如图3，当AC=3，BC=4时，设AD=x，BE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．

Answer 1

（1）如图1，∵∠ACB=90°，BC=√(3)，AC=1，
∴AB=2，
过B作BF∥AC交CE的延长线于F，
∴∠F=∠ACE，
∵∠BCA=90°，∠DCE=45°，
∴∠BCE=∠DCE，
∴∠BCE=∠F，
∴BF=BC=√(3)，
∵△BEF∽△AEC，
∴(BE)/(AE)=(BF)/(AC)=√(3)，
∴BE=2-√(3)；

（2）证明：过点A作AF⊥AB，使AF=BE，连接DF，CF，
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠B=45°，
∴∠FAC=45°，
∴△CAF≌△CBE（SAS），
∴CF=CE，
∠ACF=∠BCE，
∵∠ACB=90°，∠DCE=45°，
∴∠ACD+∠BCE=∠ACB-∠DCE=90°-45°=45°，
∵∠ACF=∠BCE，
∴∠ACD+∠ACF=45°，
即∠DCF=45°，
∴∠DCF=∠DCE，
又∵CD=CD，
∴△CDF≌△CDE（SAS），
∴DF=DE，
∵AD²+AF²=DF²，
∴AD²+BE²=DE²；

（3）如图3，作△BCE≌△FCE，△GCD≌△ACD，延长DG交EF于H，
∵∠HFG=∠B，∠HGF=∠CGD=∠A，∠A+∠B=90°，
∴∠DHF=90°，
∵FG=1，∠B=∠F，
∴HF=(4)/(5)，HG=(3)/(5)，
∵EH²+HD²=ED²，
∴（y-(4)/(5)）²+（x+(3)/(5)）²=（5-x-y）²，
∴y=(60-28x)/(21-5x)（0≤x≤(15)/(7)）．