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如图所示,已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀,其中AF=2,BF=1,为了合理利用这块钢板.将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP,使点P在AB上,且要求面积最大,求钢板的最大利用率.

题目详情
如图所示,已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀,其中AF=2,BF=1,为了合理利用这块钢板.将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP,使点P在AB上,且要求面积最大,求钢板的最大利用率.
▼优质解答
答案和解析
如图所示,为了表达矩形MDNP的面积,设DN=x,PN=y,
则面积S=xy ①,
∵点P在AB上,由△APQ∽△ABF得,
4−y
2−(4−x)
1
2

即x=10-2y,
∴代入①,得S=(10-2y)y=-2y2+10y,
S=−2(y−
5
2
)2+
25
2

因为3≤y≤4,而y=
5
2
不在自变量的取值范围内,
所以y=
5
2
不是最值点,
当y=3时,S=12;当y=4时,S=8,故面积的最大值是S=12,此时,钢板的最大利用率是80%.
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