如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：∠DAF=∠CDE；（2）问△ADF与△DEC相似吗？为什么？（3）若AB=4，AD=33，AE=3，求AF的长．

Question

如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．

（1）求证：∠DAF=∠CDE；
（2）问△ADF与△DEC相似吗？为什么？
（3）若AB=4，AD=3√(3)，AE=3，求AF的长．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B=∠ADC，
∴∠ADE=∠DEC，
∵∠AFE=∠B，
∴∠AFE=∠ADC，
∵∠AFD=180°-∠AFE，∠C=180°-∠ADC，
∴∠AFD=∠C，
∴∠DAF=∠CDE；
（2）△ADF∽△DEC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADE=∠CED．
又由（1）知，∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（3）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC  CD=AB=4，
又∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
在Rt△ADE中，DE=√(AD2+AE2)=√((3√(3))2+32)=6
∵△ADF∽△DEC，
∴(AD)/(DE)=(AF)/(CD)，
∴(3√(3))/(6)=(AF)/(4)，
∴AF=2√(3)．