如图，四棱锥P-ABCD的底面是AB=2，BC=2的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD（1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；（3）求直线AB与平面PCD的距离．

Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是AB=2，BC=√(2)的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD

（1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；
（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；
（3）求直线AB与平面PCD的距离．

Answer 1

证明：（1）在矩形ABCD中，BC⊥AB
又∵面PAB⊥底面ABCD侧面PAB∩底面ABCD=AB
∴BC⊥侧面PAB  又∵BC⊂侧面PBC
∴侧面PAB⊥侧面PBC；
（2）取AB中点E，连接PE、CE
又∵△PAB是等边三角形∴PE⊥AB
又∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD
∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角
PE＝(√(3))/(2)BA＝√(3)，CE＝√(BE2+BC2)＝√(3)
在Rt△PEC中，∠PCE=45°为所求
（3）在矩形ABCD中，AB∥CD
∵CD⊂侧面PCD，AB⊄侧面PCD，∴AB∥侧面PCD
取CD中点F，连EF、PF，则EF⊥AB
又∵PE⊥AB∴AB⊥平面PEF   又∵AB∥CD
∴CD⊥平面PEF∴平面PCD⊥平面PEF
作EG⊥PF，垂足为G，则EG⊥平面PCD
在Rt△PEF中，EG=(PE•EC)/(PF)＝(√(30))/(5)为所求．