如图1，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，O是△ABD的外接圆．（1）求证：AC是O的切线；（2）当BD是O的直径时（如图2），求∠CAD的度数．

Question

如图1，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3， O是△ABD的外接圆．

（1）求证：AC是 O的切线；
（2）当BD是 O的直径时（如图2），求∠CAD的度数．

Answer 1

（1）证明：连接AO，延长AO交 O于点E，则AE为 O的直径，连接DE，如图所示：
∵∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，∠ADB=∠ACB+∠CAD，
∴∠ABC=∠CAD，
∵AE为 O的直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠EAD=90°-∠AED，
∵∠AED=∠ABD，
∴∠AED=∠ABC=∠CAD，
∴∠EAD=90°-∠CAD，
即∠EAD+∠CAD=90°，
∴EA⊥AC，
∴AC是 O的切线；
（2） ∵BD是 O的直径，
∴∠BAD=90°，
∴∠ABC+∠ADB=90°，
∵∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，
∴4∠ABC=90°，
∴∠ABC=22.5°，
由（1）知：∠ABC=∠CAD，
∴∠CAD=22.5°．