晚会上有5个不同的歌唱节目和3个不同的舞蹈节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单：（1）3个舞蹈节目排在一起；（2）3个舞蹈节目彼此分开；（3）3个舞蹈节目先后顺序一

Question

晚会上有5个不同的歌唱节目和3个不同的舞蹈节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单：
（1）3个舞蹈节目排在一起；
（2）3个舞蹈节目彼此分开；
（3）3个舞蹈节目先后顺序一定；
（4）前4个节目中既要有歌唱节目，又要有舞蹈节目．

Answer 1

（1）根据题意，3个舞蹈节目要排在一起，可以把三个舞蹈节目看做一个元素，三个舞蹈节目本身有A₃³种顺序，
再和另外5个元素进行全排列，
则有A₆⁶A₃³=4320不同的节目单，
 （2）3个舞蹈节目彼此要隔开，可以用插空法来解，
先把5个唱歌节目排列，形成6个位置，选三个把舞蹈节目排列，
有A₅⁵A₆³=14400不同的节目单．
（3）8个节目全排列有A₈⁸=40320种方法，其中三个舞蹈节目本身有A₃³种顺序，
若3个舞蹈节目先后顺序一定，
则有(A88)/(A33)=6720种不同排法；
（4）∵8个节目全排列有A₈⁸=40320种方法，
若前4个节目中“既要有歌唱节目，又要有舞蹈节目”的否定是前四个节目全是唱歌有A₅⁴A₄⁴，
∴前4个节目中要有舞蹈有A₈⁸-A₅⁴A₄⁴=37440不同的节目单．