如图，已知点A，B，C，D均在O上，CD为∠ACE的角平分线．（1）求证：△ABD为等腰三角形；（2）若∠DCE=45°，BD=6，求O的半径．

Question

如图，已知点A，B，C，D均在 O上，CD为∠ACE的角平分线．

（1）求证：△ABD为等腰三角形；
（2）若∠DCE=45°，BD=6，求 O的半径．

Answer 1

（1）如图1中，

∵CD平分∠EAC，
∴∠ECD=∠DCA，
∵∠ECD=∠DAB，∠DCA=∠DBA，
∴∠DBA=∠DAB，
∴DB=DA．
∵△DBA是等腰三角形．

（2）如图2中，

∵∠DCE=∠DCA=45°，
∴∠ECA=∠ACB=90°，
∴AB是直径，
∴∠BDA=90°，
∵BD=AD=6，
∴AB=√(BD2+DA2)=√(62+62)=6√(2)．
∴ O的半径为3√(2)