∫dx/(x^6(1+x^2))

Question

∫dx/(x^6(1+x^2))

Answer 1

令x＝1/y,则：y＝1/x,dx＝－（1/y^2）dy.
∴∫｛1/［x^6（1＋x^2）］｝dx
＝－∫［y^6/（1＋1/y^2）］（1/y^2）dy
＝－∫［y^6/（1＋y^2）］dy
＝－∫｛［（y^6＋y^4）－（y^4＋y^2）＋（y^2＋1）－1］/（1＋y^2）｝dy
＝－∫y^4dy＋∫y^2dy－∫dy＋∫［1/（1＋y^2）］dy
＝－（1/5）y^5＋（1/3）y^3－y＋arctany＋C
＝－（1/5）（1/x）^5＋（1/3）（1/x）^3－1/x＋arctan（1/x）＋C
＝－1/（5x^5）＋1/（3x^3）－1/x＋arctan（1/x）＋C.