（2006•重庆）如图，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内．小球A、B质量分别为m、βm（β为待定系数）．A球从左边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的B球相撞，

Question

（2006•重庆）如图，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内．小球A、B质量分别为m、βm（β为待定系数）．A球从左边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的B球相撞，碰撞后A、B球能达到的最大高度均为(1)/(4)R，碰撞中无机械能损失．重力加速度为g．试求：
（1）待定系数β；
（2）第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度和B球对轨道的压力；
（3）小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论小球A、B在轨道最低处第n次碰撞刚结束时各自的速度．

Answer 1

（1）A球从静止开始下滑到碰撞后A、B球达到的最大高度的过程，由机械能守恒定律得
   mgR=(1)/(4)mgR+(1)/(4)βmgR
解得，β=3
（2）设A、B碰撞后的速度分别为v₁、v₂，则
则  (1)/(2)m

v

2 1

=(1)/(4)mgR
   (1)/(2)βm

v

2 2

=(1)/(4)βmgR
设向右方向正，向左为负，则得
   v₁=-√((1)/(2)gR)，方向向左；
   v2＝√((1)/(2)gR)，方向向右．
设轨道对B球的支持力为N，B球对轨道的压力为N′，方向竖直向下为正
则由牛顿第二定律得
   N-βmg=βm(v22)/(R)
得，N=4.5mg
由牛顿第三定律得，N′=-N=-4.5mg，方向竖直向下．
（3）设A、B两球第二次碰撞刚结束时各自的速度分别为V₁、V₂，
由机械能守恒和动量守恒得
   mgR=(1)/(2)m

V

2 1

+(1)/(2)βm

V

2 2

-mv₁-βmv₂=mV₁+βmV₂
解得，V₁=-√(2gR)，V₂=0．（另一组V₁=-v₁，V₂=-v₂，不合题意，舍去）
由此可得
  当n为奇数时，小球A、B在第n次碰撞铡结束时的速度分别与其第一次碰撞刚结束时相同； 
  当n为偶数时，小球A、B在第n次碰撞铡结束时的速度分别与其第二次碰撞刚结束时相同；
答：
（1）待定系数β是3．
（2）第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度为-√((1)/(2)gR)，方向向左和√((1)/(2)gR)，方向向右；B球对轨道的压力是4.5mg，方向竖直向下．
（3）小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度分别是√(2gR)和0，当n为奇数时，小球A、B在第n次碰撞铡结束时的速度分别与其第一次碰撞刚结束时相同；
当n为偶数时，小球A、B在第n次碰撞铡结束时的速度分别与其第二次碰撞刚结束时相同；