已知抛物线的表达式为y=-x2+6x+c．（1）若抛物线与x轴有交点，求c的取值范围；（2）设抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x1、x2，若x12+x22=26，求c的值；（3）若P、Q是抛物线上位于第一象限

Question

已知抛物线的表达式为y=-x²+6x+c．

（1）若抛物线与x轴有交点，求c的取值范围；
（2）设抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x₁、x₂，若x₁²+x₂²=26，求c的值；
（3）若P、Q是抛物线上位于第一象限的不同两点，PA、QB都垂直于x轴，垂足分别为A、B，且△OPA与△OQB全等，求证：c>-(21)/(4)．

Answer 1

（1）∵抛物线与x轴有交点，
∴b²-4ac≥0，
∴36+4c≥0，
∴x≥-9．

（2）∵x₁+x₂=6，x₁x₂=-c，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=36+2c=26
∴c=-5．

（3）∵△OPA≌△QOB，
∴OA=BQ，AP=OB，
∴可以设P（m，n），则Q（n，m）
将P（m，n），Q（n，m）代入原解析式中得：

-m2+6m+c=0①

-n2+6n+c=m②

①-②得：n²-m²+6m-6n=n-m
∴n²-m²+7m-7n=0，
∴（n-m）（n+m-7）=0，
∴m=n或m=7-n，
∵m，n不相等，
∴m=7-n，
将m=7-n代入①得：n²-7n+7-c=0，
∵b²-4ac>0，
∴49-4（7-c）>0，
∴c>-(21)/(4)．