x^2-abx+1/2(a+b)=0的整正数解a,b为正整数,是否有x^2-abx+1/2(a+b)=0的2个整正数解,若存在求出,若无,证明；

Question

x^2-abx+1/2(a+b)=0的整正数解
a,b为正整数,是否有x^2-abx+1/2(a+b)=0的2个整正数解,若存在求出,若无,证明；

Answer 1

显然,两个解的和是ab,积是(a+b)/2,因此a+b要被2整除.
另外由a,b是正整数,ab > (a+b)/2,即两个解的和要比积大.两个正整数的和比积大只有一种情况,就是其中一个为1.设x1 = 1,则x2 = ab-1 = (a+b)/2,也就是说2ab - a - b - 2 = 0,只有a = 1,b = 3或者反过来(具体证明略).此时x2 = 2.
就是说,当a = 1,b = 3时,x1 = 1,x2 = 2.