如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），扇形的圆心角是60°，若抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数取值范围

Question

如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），扇形的圆心角是60°，若抛物线y=x²+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数取值范围是

−4＜k＜(3)/(4)

−4＜k＜(3)/(4)

．

Answer 1

由图可知，∠AOB=60°，
∴直线OA的解析式为y=√(3)x，
联立

y＝√(3)x

y＝x2+k

，
消掉y得，
x²-√(3)x+k=0，
△=（-√(3)）²-4×1×k=0，
即k=(3)/(4)时，抛物线与OA有一个交点，
解得：x=(√(3))/(2)，
即交点的横坐标为(√(3))/(2)，
∵点B的坐标为（2，0），
∴OA=2，
∴点A的坐标为（1，√(3)），
∵(√(3))/(2)＜1，
∴交点在线段AO上；
当抛物线经过点B（2，0）时，4+k=0，
解得k=-4，
∴要使抛物线y=x²+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是：-4＜k＜(3)/(4)．
故答案为：-4＜k＜(3)/(4)．