如果a大于零,b大于零,且a分之一加b分之一,等于根号ab,求a的三次方加b的三次方,的最小值

Question

如果a大于零,b大于零,且a分之一加b分之一,等于根号ab,求a的三次方加b的三次方,的最小值

Answer 1

1/a+1/b＝√(ab)
→(a+b)/ab＝√(ab)
→a+b＝√(ab)^3
→(a+b)^2＝(ab)^3≤[(a+b)/2]^6
→(a+b)^6≥64(a+b)^2
→a+b≥2√2.
∴a^3+b^3
＝a^3/1^2+b^3/1^2
≥(a+b)^3/(1+1)^2
≥(2√2)^3/4
＝4√2.
取等时a+b＝2√2且1/a+1/b＝√(ab),
即a＝b＝√2.
∴a＝b＝√2时,
所求最小值为：4√2.