设ai(i=1,2...,n)是彼此不相等的正整数,求证:a1^2+a2^2/2+...+an^2/n≥a1+a2+...+an

Question

设ai(i=1,2...,n)是彼此不相等的正整数,求证:a1^2+a2^2/2+...+an^2/n≥a1+a2+...+an

Answer 1

可以用Cauchy不等式得:
(1+2+...+n)(a1²+a2²/2+...+an²/n) ≥ (a1+a2+...+an)².
而由a1,a2,...,an是彼此不相等的正整数,
可知其中最小的数 ≥ 1,第二小的数 ≥ 2,第三小的数 ≥ 3,...,最大的数 ≥ n.
相加得a1+a2+...+an ≥ 1+2+...+n > 0.
因此(a1+a2+...+an)² ≥ (1+2+...+n)(a1+a2+...+an).
即得(1+2+...+n)(a1²+a2²/2+...+an²/n) ≥ (1+2+...+n)(a1+a2+...+an).
也即a1²+a2²/2+...+an²/n ≥ a1+a2+...+an.