某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为V6，流入湖泊内不含A的水量为V6，流出湖泊的水量为V3．已知1999年年底湖中A的含量为5m0，超过国家规定指标．为了治理污水，从2000年

Question

某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为(V)/(6)，流入湖泊内不含A的水量为(V)/(6)，流出湖泊的水量为(V)/(3)．已知1999年年底湖中A的含量为5m₀，超过国家规定指标．为了治理污水，从2000年年初起，限定排入湖泊中含A污水的浓度不超过(m0)/(V)．问至多需经过多少年，湖泊中污染物A的含量降至m₀以内？（注：设湖水中A的浓度时均匀的．）

Answer 1

设湖泊内污染物A的含量为m（t），则依题意可得：流入的污染物A含量为(m0)/(V)•(V)/(6)dt＝(m0)/(6)dt，流出的污染物A含量为(m(t))/(V)•(V)/(3)＝(m(t))/(3)dt
由于污染物A的含量变化量=流进的量-流出的量，
即dm(t)＝(m0)/(6)dt−(m(t))/(3)dt
6dm（t）=[m₀-2m（t）]dt
(6)/(m0−2m(t))dm(t)＝dt
-3ln|m₀-2m（t）|=t+c，c为任意常数
|m0−2m(t)|＝e−(1)/(3)(t+c)＝e−(1)/(3)c•e−(1)/(3)t＝Ce−(1)/(3)t，，C为任意非负数
所以，m0＝2m(t)＝ce−(1)/(3)t，c为任意常数
代入初始条件t=0时，m（t）=5m₀
可得：c=-9m₀
所以，m0−2m(t)＝−9m0e−(1)/(3)t
m(t)＝(1)/(2)m0+(9)/(2)m0e−(1)/(3)t
令m（t）=m₀，即(1)/(2)m0+(9)/(2)m0e−(1)/(3)t＝m0
9e−(1)/(3)t＝1
−(1)/(3)t＝ln(1)/(9)＝−2ln3
t=6ln3
由于本题排入湖泊中含A污水的浓度采用最大限度，所以，至多经过6ln3年，湖泊中污染物A的含量降至m₀以内．