三角形数:1,3,6,10,15,21,28,36...证明:1.所有的三角形数倒数之和为二.2.即是三角形数又是平方数的数有无数个.3.任何一个自然数都最多写成三个三角形数之和.

Question

三角形数:1,3,6,10,15,21,28,36...
证明:1.所有的三角形数倒数之和为二.
2.即是三角形数又是平方数的数有无数个.
3.任何一个自然数都最多写成三个三角形数之和.

Answer 1

第n项为,从自然数从1加到n的和.即an = n（1+n）/2；
证明1：所有三角形的倒数之和可以表示为：
1+1/3+1/6+……+2/[n（1+n）] 整理简化后可以得到2-2/（n+1）
当n无穷大时,后面的-2/（n+1）将无限趋近于0,所以可以认为整个2-2/（n+1）无限趋近于2,证明完毕.
PS1：式子1+1/3+1/6+……+2/[n（1+n）] 如何简化成为2-2/（n+1）.
第n项an = n（1+n）/2的倒数是2/[n（n+1）]=2/n-2/（n+1）.把刚才的式子中各项都拆分则可以得到 [2/1-2/（1+1）]+[2/2-2/（2+1）]+[2/3-2/（3+1）]+……+[2/n-2/（n+1）],明白了吗?去掉中括号就可以看出最后的结果了.
PS2:遇到多项式求和.每一项形式如下：b/[n（n+a）] 就是分子相同设为b,分母为n（n+a）其中a,b为常数的时候,都可以这样处理.就是把一项拆为两项各项变为 b/（a*n）-b/[a*（n+a）].这样求和就比较简便了.
先回答第一题,一会回答第二问.