已知抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（0，3），C（2，-1）．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线与x轴的另一个交点D的坐标；（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得P

Question

已知抛物线y=ax²+bx+c的图象经过点A（1，0），B（0，3），C（2，-1）．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线与x轴的另一个交点D的坐标；
（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得PA+PB最短？若点P存在，求出点P的坐标；若P点不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）把A（1，0），B（0，3），C（2，-1）代入y=ax²+bx+c，
得

a+b+c=0

c=3

4a+2b+c=-1

，
解得 

a=1

b=-4

c=3.

，
所以抛物线的解析式为y=x²-4x+3．
（2）令x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3．
∵点A的坐标为（1，0），
∴点D的坐标为（3，0）．
（3）存在．
由（1）知该抛物线的对称轴为x=-(b)/(2a)=-(-4)/(2×1)=2，
点A关于对称轴x=2的对称点为点D，连接BD，则直线BD与对称轴x=2的交点即为点P．
令直线BD的解析式为y=kx+b，代入点B（0，3）和点D（3，0），
得

b=3

3k+b=0

，
解得

b=3

k=-1.

所以直线BD的解析式为y=-x+3．
当x=2时，y=-2+3=1，
所以点P（2，1）．