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已知sinα-cosβ=4/5,cosα-sinβ=3/5,求sin(α+β)
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已知sinα-cosβ=4/5,cosα-sinβ=3/5,求sin(α+β)
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答案和解析
已知sinα-cosβ=4/5,cosα-sinβ=3/5
所以(sinα-cosβ)²=16/25
(cosα-sinβ)²=9/25
即sin²α-2sinαcosβ+cos²β=16/25
cos²α-2cosαsinβ+sin²β=9/25
两式相加得sin²α-2sinαcosβ+cos²β+cos²α-2cosαsinβ+sin²β=16/25+9/25=1
即2-2(sinαcosβ+cosαsinβ)=1
即sin(α+β)=1/2
所以(sinα-cosβ)²=16/25
(cosα-sinβ)²=9/25
即sin²α-2sinαcosβ+cos²β=16/25
cos²α-2cosαsinβ+sin²β=9/25
两式相加得sin²α-2sinαcosβ+cos²β+cos²α-2cosαsinβ+sin²β=16/25+9/25=1
即2-2(sinαcosβ+cosαsinβ)=1
即sin(α+β)=1/2
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