对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=wx0，则称x0是f（x）的一个“伸缩w倍点”，已知函数f（x）=ax2-ax-（a+3）．（1）当a=1，求函数f（x）的“伸缩2倍点”；（2）当函数f（x）有唯一一个“

Question

对于函数f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=wx₀，则称x₀是f（x）的一个“伸缩w倍点”，已知函数f（x）=ax²-ax-（a+3）．
（1）当a=1，求函数f（x）的“伸缩2倍点”；
（2）当函数f（x）有唯一一个“伸缩3倍点”时，求二次函数f（x）=ax²-ax-（a+3）的最大值．

Answer 1

（1）当a=1时，f（x）=ax²-ax-（a+3）=x²-x-4，伸缩2倍点：f（x）=2x即x²-x-4=2x，整理为：（x-4）（x+1）=0，∴x=4或者x=-1是伸缩2倍点；
（2）∵函数f（x）有唯一一个“伸缩3倍点”，即f（x）=ax²-ax-（a+3）=3x有唯一一个解，∴ax²-（a+3）x-（a+3）=0有两个相等实根，
∴△=[-（a+3）]²+4a（a+3）=0，解得a=-3，或a=-(3)/(5)；
当a=-3时，f（x）=-3x²+3x=-3（x-(1)/(2)）²+(3)/(4)≤(3)/(4)，所以最大值为(3)/(4)；
当a=-(3)/(5)时，f（x）=-(3)/(5)x²+(3)/(5)x+(12)/(5)=-(3)/(5)（x-(1)/(2)）²+(51)/(20)，所以最大值为(51)/(20)．