一个三角形ABC,AB=2,AC=3,另一三角形BCP与三角形ABC共BC边,且三角形BCP为正三角形.求AP的取值范围.,注意这是平面几何问题,不考虑是立体几何的情况.

Question

一个三角形ABC,AB=2,AC=3,另一三角形BCP与三角形ABC共BC边,且三角形BCP为正三角形.求AP的取值范围.
,注意这是平面几何问题,不考虑是立体几何的情况.

Answer 1

(1),∵0°＜∠BAC＜180°,
假设∠BAC=0°,
即AB与AC重合,点B在AC上,
则有：BC=AC-AB=3-2=1；
当然三角形ABC中,BC≠1,且显然BC＞1；
假设∠BAC=180°,
即AB与AC在同一条直线上,
且点B在CA的延长线上,
则有：BC=AB+AC=2+3=5；
当然三角形ABC中,BC≠5,且显然BC＜5；
∴正三角形BCP的边长在1与5之开区间.
即：1＜BC＜5 .
(2),设PD为正三角形BCP的高,垂足为D.
(3),当正三角形BCP的边长BC = 1 时,
高 PD = 0.5√3（“√3 ”表示为根号3 ）,
Rt△APD中,斜边AP＾2 = AD＾2 + PD＾2
=2.5＾2 +（0.5√3)＾2
=7,（AP＾2表示为AP的平方）
∴AP = √7 ,
(4),当正三角形BCP的边长BC = 5 时,
高 PD = 2.5√3 ,
Rt△APD中,斜边AP＾2 = AD＾2 + PD＾2
= 0.5＾2 + (2.5√3 )＾2
=19 ,
∴AP = √19 ,
(5),∴AP的取值范围是 (√7 ,√19 ),
即:√7＜AP＜√19 .