已知函数f（x）=ex-ax，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，都有f（x）≥0成立，求实数a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=e^x-ax，a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，都有f（x）≥0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ） f（x）的定义域是（-∞，+∞），f′（x）=e^x-a．…2分
（1）当a≤0时，f'（x）＞0成立，f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）；  …3分
（2）当a＞0时，
令f'（x）＞0，得x＞lna，则f（x）的单调增区间是（lna，+∞）．…4分
令f'（x）＜0，得x＜lna，则f（x）的单调减区间是（-∞，lna）．…5分
综上所述，当a≤0时，f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）；当a＞0时，f（x）的单调增区间是（lna，+∞），单调减区间是（-∞，lna）…6分
（Ⅱ）当x=0时，f（x）=1≥0成立，a∈R．…7分
当x∈（0，+∞）时，f（x）=e^x-ax≥0成立，即x＞0 时，a≤(ex)/(x)成立．
设g(x)＝(ex)/(x)，…9分
所以g′(x)＝(xex−ex)/(x2)=((x−1)ex)/(x2)．…10分
当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，函数g（x）在（0，1）上为减函数；    …11分
x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，函数g（x）在x∈（1，+∞）上为增函数．…12分
则g（x）在x=1处取得最小值，g（1）=e．则a≤e．
综上所述，x∈[0，+∞）时，f（x）≥0成立的a的范围是（-∞，e]．…13分