在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A-B=π6（1）求边c的长；（2）求角B的大小．

Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A-B=(π)/(6)
（1）求边c的长；
（2）求角B的大小．

Answer 1

（1）∵acosB=3，bcosA=l，∴a×(a2+c2-b2)/(2ac)=3，b×(b2+c2-a2)/(2bc)=1，
化为：a²+c²-b²=6c，b²+c²-a²=2c．
相加可得：2c²=8c，解得c=4．
（2）由（1）可得：a²-b²=8．
由正弦定理可得：(a)/(sinA)=(b)/(sinB)=(4)/(sinC)，
又A-B=(π)/(6)，∴A=B+(π)/(6)，C=π-（A+B）=π-(2B+(π)/(6))，可得sinC=sin(2B+(π)/(6))．
∴a=(4sin(B+(π)/(6)))/(sin(2B+(π)/(6)))，b=(4sinB)/(sin(2B+(π)/(6)))．
∴16sin2(B+(π)/(6))-16sin²B=8sin2(2B+(π)/(6))，
∴1-cos(2B+(π)/(3))-（1-cos2B）=sin2(2B+(π)/(6))，即cos2B-cos(2B+(π)/(3))=sin2(2B+(π)/(6))，
∴-2sin(2B+(π)/(6))sin(-(π)/(6))═sin2(2B+(π)/(6))，
∴sin(2B+(π)/(6))=0或sin(2B+(π)/(6))=1，B∈(0，(5π)/(12))．
解得：B=(π)/(6)．