一天中有多少次时针与分针成直角?

Question

一天中有多少次时针与分针成直角?

Answer 1

这是相对运功,计算相对角速度就可以了.
按分钟计算,时针的速度为V1=π/360 分针的速度为V2=π/30 于是速度差为v=11π/360
于是一天24小时,分针比时针多运行的角度就是44π,时针分针成九十度就是nπ+π/2,显然在44π中间共有44个这样的取值点,所以共有44次成直角
分针走1圈用时60分钟,则其角速度为2π/60,
时针走1圈用时12小时即12*60分钟,则其角速度为2π/(12*60),
从0点开始同时从0点位置出发,经过x分钟(0＜x＜24*60=1440)
分针走了（2π/60）x,时针走了2π/(12*60)x,
它们之间距离（角度差）为
（2π/60）x-2π/(12*60)x=2πx[1/60-1/(12*60)]
=(11/720)x*2π
当(11/720)x*2π=2kπ±π/2时,时针和分针成直角. k为自然数且0＜k＜24
(11/720)x*2π=2kπ±π/2
(11/720)x*2=2k±1/2
x=(k±1/4)*720/11
0＜(k±1/4)*720/11＜1440
0＜k±1/4＜1440*11/720=22
0＜k+1/4＜22,或0＜k-1/4＜22
0≤k≤21,或1≤k≤22
44次每小时2次,24个小时,再减去重复的3点和9点【2×2】.