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如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上一动点,连结OB、AB,并延长AB至点D,使DB=AB,过点D作x轴垂线,分别交x轴、直线OB于点E、F,
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如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上一动点,连结OB、AB,并延长AB至点D,使DB=AB,过点D作x轴垂线,分别交x轴、直线OB于点E、F,点E为垂足,连结CF。 |
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(1)当∠AOB=30°时,求弧AB的长度; (2)当DE=8时,求线段EF的长; (3)在点B运动过程中,是否存在以点E、C、F 为顶点的三角形与△AOB相似,若存在,请求出此时点E的坐标;若不存在,请说明理由。 |
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答案和解析
(1)连结BC, ∵A(10,0), ∴OA=10 ,CA=5, ∵∠AOB=30°, ∴∠ACB=2∠AOB=60°, ∴弧AB的长= 。 | |
(2)连结OD, ∵OA是⊙C直径, ∴∠OBA=90°, 又∵AB=BD, ∴OB是AD的垂直平分线, ∴OD=OA=10, 在Rt△ODE中,OE= , ∴AE=AO-OE=10-6=4, 由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB,∠OEF=∠DEA, 得△OEF∽△DEA, ∴ , 即 , ∴EF=3; | |
(3)设OE=x, ①当交点E在O,C之间时,由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似, 有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB, 当∠ECF=∠BOA时,此时△OCF为等腰三角形,点E为OC 中点, 即OE= , ∴E 1 ( ,0); 当∠ECF=∠OAB时,有CE=5-x,AE=10-x, ∴CF∥AB,有CF= , ∵△ECF∽△EAD, ∴ , 即 , 解得: , ∴E 2 ( ,0); | |
②当交点E在点C的右侧时, ∵∠ECF>∠BOA, ∴要使△ECF与△BAO相似, 只能使∠ECF=∠BAO, 连结BE, ∵BE为Rt△ADE斜边上的中线, ∴BE=AB=BD, ∴∠BEA=∠BAO, ∴∠BEA=∠ECF, ∴CF∥BE, ∴ , ∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠, ∴△CEF∽△AED, ∴ ,而AD=2BE, ∴ , 即 ,解得 , <0(舍去), ∴E 3 ( ,0)。 | |
③当交点E在点O的左侧时, ∵∠BOA=∠EOF>∠ECF ∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO 连结BE,得BE= =AB,∠BEA=∠BAO ∴∠ECF=∠BEA, ∴CF∥BE, ∴ , 又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠, ∴△CEF∽△AED, ∴ ,而AD=2BE, ∴ , ∴ , 解得 , <0(舍去), ∵点E在x轴负半轴上, ∴E 4 ( ,0), 综上所述:存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,此时点E坐标为: 0)。 |
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