（2013•如东县模拟）以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．（1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM．①如图1，当点D、C分别

Question

（2013•如东县模拟）以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．
（1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM．
①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，(FM)/(EM)=

(√(3))/(2)

(√(3))/(2)

；
②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），其他条件不变，判断(FM)/(EM)的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；
（2）如图3，若BO=3√(3)，点N在线段OD上，且NO=2．点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为

(3)/(2)√(3)−2

(3)/(2)√(3)−2

，最大值为

3√(3)+2

3√(3)+2

．

Answer 1

（1）①连接EF，
∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，
∴EF，FM是分别是△ACD和△DBC的中位线，
∴EF∥AD，FM∥CB，
∵∠ABO=∠DCO=30°，
∴∠CDO=60°，
∴∠EFC=60°，∠MFD=30°，
∴∠EFM=90°，
∴△EFM是直角三角形，
∵EM∥CD，
∴∠EMF=∠MFD=30°，
∴cos30°=(FM)/(EM)=(√(3))/(2)，
故答案为：(√(3))/(2)；
②结论：(FM)/(EM)的值不变，
证明：连接EF、AD、BC，
∵Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴(AO)/(BO)＝tan30°＝(√(3))/(3)．
∵Rt△COD中，∠COD=90°，∠DCO=30°，
∴(DO)/(CO)＝tan30°＝(√(3))/(3)．
∴(AO)/(BO)＝(DO)/(CO)＝(√(3))/(3)．
∵∠AOD=90°+∠BOD，∠BOC=90°+∠BOD，
∴∠AOD=∠BOC．
∴△AOD∽△BOC．  
∴(AD)/(BC)＝

作业帮用户 2017-10-15

问题解析

（1）①连接EF，由已知条件证明△EMF是直角三角形，并且可求出∠EMF=30°，利用30°角的余弦值即可求出(FM)/(EM)的值；②若△AOB绕点O沿顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），其他条件不变，(FM)/(EM)的值不发生变化，连接EF、AD、BC，由①的思路证明∠EMF=30°即可；
（2）过O作OE⊥AB于E，由已知条件求出当P在点E处时，点P到O点的距离最近为(3√(3))/(2)，当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：OP-ON=(3√(3))/(2)-2；当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=3√(3)+2．

名师点评

本题考点：

相似形综合题．

考点点评：

此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定和性质三角形的中位线的判定和性质、梯形的中位线和性质以及三角函数的应用．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．

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