证明1+2的三次方开根号分之一+.到n的三次方开根号分之一的取值在（2,3）内n大于等于23

Question

证明 1+2的三次方开根号分之一+.到n的三次方开根号分之一的取值在（2,3）内
n大于等于23

Answer 1

意思是1+1/√2³+1/√3³+...+1/√n³吧.
注意到1/√k-1/√(k+1) = (√(k+1)-√k)/(√k·√(k+1)) = 1/(√k·√(k+1)·(√k+√(k+1))).
有1/(2√(k+1)³) < 1/√k-1/√(k+1) < 1/(2√k³).
也即2/√k-2/√(k+1) < 1/√k³ < 2/√(k-1)-2/√k.
于是1+1/√2³+...+1/√n³ < 1+(2-2/√2)+(2/√2-2/√3)+...+(2/√(n-1)-2/√n) = 3-2/√n < 3.
1+1/√2³+...+1/√n³ > 1+(2/√2-2/√3)+(2/√3-2/√4)+...+(2/√n-2/√(n+1)) = 1+√2-2/√(n+1).
n ≥ 23,于是1+√2-2/√(n+1) ≥ 1+√2-2/√24 = 1+√2-1/√6 > 2.
综合得n ≥ 23时,2 < 1+1/√2³+1/√3³+...+1/√n³ < 3.