已知在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点E为AC中点，延长ED、AB交于点F．求证：ABAC=DFFA．

Question

已知在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点E为AC中点，延长ED、AB交于点F．求证：(AB)/(AC)=(DF)/(FA)．

Answer 1

证明：∵∠BAC=90°，AD⊥BC于D，
∴∠BAC=∠ADB=90°，
∴∠BAD+∠ABD=∠ABD+∠C=90°，
∴∠BAD=∠C，
∵E是AC的中点，
∴DE=CE，
∴∠C=∠EDC，
∵∠EDC=∠BDF，
∴∠BAD=∠BDF，
∵∠F=∠F，
∴△DFB∽△AFD，
∴(BD)/(AD)=(DF)/(AF)，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠BAD=∠ACD，
∵∠ADB=∠ADC，
∴△ABD∽△CAD；
∴(AB)/(AC)=(BD)/(AD)，
∴AB：AC=DF：AF．