关于数列问题形如13610...每一项的差都递增1（3比1多26比3多310比6多4）他的同项表达式是[n(n-1)]/2又如1491625每一项的差都递增2(4比1多39比4多516比9多7...)他的通项表达式为n^2第一个那

Question

关于数列问题
形如1 3 6 10...每一项的差都递增1 （3比1多2 6比3多3 10比6多4）
他的同项表达式是[n(n-1)]/2
又如1 4 9 16 25 每一项的差都递增2 (4比1多3 9比4多5 16比9多7...)他的通项表达式为n^2
第一个
那么1 4 10 19 31 （4比1多3 10比4多6 19比10多9...） 他的通项表达式是什么?
第二个
或者1 3 8 16 27 每一项的差都递增3(3比1多2 8比3多5 16比8多8...
第三个
能不能得出 当一个数列为每一项的差都递增n的表达式?
最重要是第三个 用不定积分求解

Answer 1

记原数列为A1,A2,...,An,...
构造数列Bn = A(n+1) - An,
可知数列B1,B2,...,Bn,...是一个等差数列,Bn = B1 + (n - 1) * N,那么这个数列的前n项的和为Sn = n * B1 + n(n-1)*N/2,其中N为公差,N = B2 - B1 = B3 - B2 = Bn - B(n-1) = .
那么,
B1 = A2 - A1,
B2 = A3 - A2,
.
B(n-1) = An - A(n-1)
将上面n-1条等式相加,得
S(n-1) = B1 + B2 + ...+ B(n-1) = An - A1,
所以,An = S(n-1) + A1 = [(n-1) * B1 + (n-1)*(n-2)*N/2] + A1,其中,A1为数列的第一项(A1不一定等于1也可以),B1 = A2 - A1,N = B2 - B1 = (A3 - A2) - (A2 - A1).
1.对于第一个数列1 3 6 10 .
有A1 = 1,B1 = 2,N = 1,
代入得,An = n(n+1)/2
2.对于第二个数列1 4 9 16 25 ...
有A1 = 1,B1 = 3,N = 2,
代入得,An = n^2
3.对于第三个数列1 4 10 19 31 ...
有A1 = 1,B1 = 3,N = 3,
代入得,An = 3*n(n-1)/2 + 1
4和5楼主自己可以试一下代入计算一下,绝对是正确的通项公式,推导过程如上,
公式为An = S(n-1) + A1 = [(n-1) * B1 + (n-1)*(n-2)*N/2] + A1,其中,A1为数列的第一项(A1不一定等于1也可以),B1 = A2 - A1,N = B2 - B1 = (A3 - A2) - (A2 - A1).