已知一个扇形的周长为定值a,求当扇形的圆心角为多少时,它的面积有最大值?并求出面积的最大值.

Question

已知一个扇形的周长为定值a,求当扇形的圆心角为多少时,它的面积有最大值?并求出面积的最大值.

Answer 1

设：当扇形的圆心角为x度时,它的面积最大,最大值为S,半径为r
扇形的周长等于弧长加上两个半径的长,弧长等于圆的周长乘以圆心角的度数比上圆周角的度数.
即：a=2πr×x/360+2r
a=(πx/180+2)r r=a/(πx/180+2)
化简后得出:r=180a/(πx+360)
S=πr²=π[180a/(πx+360)]² S=π×32400a/[(πx)²+720πx+129600]
当(πx)²+720πx+129600值最小时,S最大,根据抛物线图像,开口向上,
所以当x=-b/2a 即πx= -720/2 x=-360/π时,S最大 因为x为正角,所以x=360/π
把x带入S,得出S=πa²/16