已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的解析式和对称轴；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC是以AC为斜边

Question

已知抛物线 y ＝ ax ² ＋ bx ＋ c 经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线 l 是抛物线的对称轴．

(1)求抛物线的解析式和对称轴；      
(2)设点P是直线 l 上的一个动点，当△PAC是以AC为斜边的Rt△时，求点P的坐标；
(3)在直线 l 上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)设过点A的直线与抛物线在第一象限的交点为N，当△ACN的面积为 时，求直线AN的解析式.

Answer 1

（1）y=-x ² +2x+3  (2) P ₁ (1,1),P ₂ (1,2)   (3)

试题分析：
（1）将三点代入y=ax ² +bx+c中，易求解析式为：
对称轴为：直线  
（2）设点P（1， y ）是直线 l 上的一个动点，作CF⊥ l 于F， l 交 x 轴于E，
则AC ² ＝AO ² ＋CO ² ＝10，CP ² ＝CF ² ＋PF ² ＝1＋（3－y） ² ＝
AP ² ＝AE ² ＋PE ² ＝4＋y ² , ∴由CP ² ＋AP ² ＝AC ² ，
得： ＋4＋y ² ＝10，解得 或
∴P点的坐标为P ₁ （1，1）、P ₂ （1, 2）
解法二; 用△相似解法更简单如下：
∵CP⊥AP，∴△CPF∽△PAE，∴ ，∴ ∴解得 或
（3）
设点M（1，m）, 与（2）同理可得：AC ² ＝10，CM ² ＝ ，AM ² ＝4＋ m ²
①当AC＝CM时，10＝ ，解得： m ＝0或 m ＝6（舍去）
②当AC＝AM时，10＝4＋ m ² , 解得： m ＝ 或 m ＝
③当CM＝AM时， ＝4＋ m ² ，解得： m ＝1
检验：当m＝6时，M、A、C三点共线，不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的M点有4个，
M坐标为(1，0) 、(1， )、(1，－ )、(1，1)

(4)设直线AN的解析式为 ，且交y轴于点K，∵过点A（―1, 0），∴ ，
∴K（0， k ），∵N是直线AN与抛物线的交点，∴ ，解得 x ＝3― k ，
或 x ＝―1（舍去），∴N点的横坐标为 x ＝3― k （ k ＜3）  
由S _△ACN ＝S _△ACK ＋S _△CKN ＝ CK·OA＋ CK·NJ＝ （3― k ）×1＋ （3― k ） ²
＝
令 ＝ ，解得 k ＝ （舍去），或 k ＝ ，
∴直线AN的解析式为
点评：熟知上述性质概念，本题综合性很强，运用的知识点很多，要认真审题才可解之，还需做辅助线求得，在二问中有两个答案易漏求，求得方法也不唯一，三问中可求有五个点，有一个不合题意需舍去，四问中同样也有一个要舍去，计算量较多，易出错，难度较大，属于难题。