已知曲线y=2ex+1，则曲线的切线斜率取得最小值时的切线被圆C：x2+y2=4截得的弦长等于（）A．455B．255C．8

Question

已知曲线 y=(2)/(ex +1) ，则曲线的切线斜率取得最小值时的切线被圆C：x ² +y ² =4截得的弦长等于（　　）

A． (45)/(5)

B． (25)/(5)

C． (85)/(5)

D． (65)/(5)

Answer 1

由题意得， y′=(-2( ex +1)′)/((ex +1 )2) = (-2 ex)/((ex +1)2) = (-2)/(ex +(1)/(ex)+2) ，
∵e ^x ＞0，∴ e x +(1)/(ex) ≥2

e x ×(1)/(ex)

=2，当且仅当 e x =(1)/(ex) 时取等号，此时x=0，
∴ e x +(1)/(ex) +2≥4 ，则 y′=(-2)/(ex +(1)/(ex)+2) ≥ -(1)/(2) ，当x=0时取等号，
∴当x=0时，曲线的切线斜率取最小值 -(1)/(2) ，则切点的坐标（0，1），
∴切线的方程是：y-1= -(1)/(2) （x-0），即x+2y-2=0，
圆C：x ² +y ² =4的圆心（0，0）到切线的距离是 (|-2|)/(1+4) = (25)/(5) ，
∴切线被圆C：x ² +y ² =4截得的弦长为2×

2 2 -((25)/(5) ) 2

= (85)/(5) ，
故选C．