在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足c=2acosB+a，则sin(B-A)sinAsinB的取值范围是（）A.(1，33)B.(0，33)C.(0，233)D.(1，233)

Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足c=2acosB+a，则

(sin(B-A))/(sinAsinB)的取值范围是（　　）

A. (1，

(√(3))/(3))

B. (0，

(√(3))/(3))

C. (0，

(2√(3))/(3))

D. (1，

(2√(3))/(3))

Answer 1

∵c=2acosB+a，∴sinC=2sinAcosB+sinA，即sin（A+B）=2sinAcosB+sinA，
化为：sin（B-A）=sinA．
∵A，B为锐角，可得：B-A=A，可得：B=2A∈（0，(π)/(2)），
∴A∈（0，(π)/(4)），
又∵C=π-3A∈（0，(π)/(2)），可得：A∈（(π)/(6)，(π)/(3)），∴B∈((π)/(3)，(π)/(2))．
∴(√(3))/(2)<sinB<1．
则(sin(B-A))/(sinAsinB)=(sinA)/(sinAsinB)=(1)/(sinB)．
∴(sin(B-A))/(sinAsinB)=(sinA)/(sinAsinB)=(1)/(sinB)∈(1，(2√(3))/(3))．
故选：D．