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在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足c=2acosB+a,则sin(B-A)sinAsinB的取值范围是()A.(1,33)B.(0,33)C.(0,233)D.(1,233)

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在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足c=2acosB+a,则

sin(B-A)
sinAsinB
的取值范围是(  )

A. (1,

3
3
)

B. (0,

3
3
)

C. (0,

2
3
3
)

D. (1,

2
3
3
)

▼优质解答
答案和解析
∵c=2acosB+a,∴sinC=2sinAcosB+sinA,即sin(A+B)=2sinAcosB+sinA,
化为:sin(B-A)=sinA.
∵A,B为锐角,可得:B-A=A,可得:B=2A∈(0,
π
2
),
∴A∈(0,
π
4
),
又∵C=π-3A∈(0,
π
2
),可得:A∈(
π
6
π
3
),∴B∈(
π
3
π
2
).
3
2
<sinB<1.
sin(B-A)
sinAsinB
=
sinA
sinAsinB
=
1
sinB

sin(B-A)
sinAsinB
=
sinA
sinAsinB
=
1
sinB
(1,
2
3
3
).
故选:D.