如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD•sin∠C+AC•sin∠ADC=DC•sin∠DAC，sin∠BAC=223，AB=32，AD=3．（1）求证：△ADC是直角三角形；（2）求△ABD的面积及BD的长．

Question

如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD•sin∠C+AC•sin∠ADC=DC•sin∠DAC，sin∠BAC=(2√(2))/(3)，AB=3√(2)，AD=3．

（1）求证：△ADC是直角三角形；
（2）求△ABD的面积及BD的长．

Answer 1

（1）证明：∵点D在BC边上，AD•sin∠C+AC•sin∠ADC=DC•sin∠DAC，
由正弦定理可得：AD²+AC²=DC²，
∴∠DAC=90°．
∴△ADC是直角三角形．
（2） ∵sin∠BAC=(2√(2))/(3)=sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD，
又∠BAD是锐角，∴sin∠BAD=√(1-cos2∠BAD)=(1)/(3)．
∴S_△BAD=(1)/(2)AB•AD•sin∠BAD=(1)/(2)×3√(2)×3×(1)/(3)=(3√(2))/(2)．
由余弦定理可得：BD²=(3√(2))2+32-2×3√(2)×3×cos∠BAD=3，
解得BD=√(3)．