已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，若S4=4S2，a2n=2an+1（1）求数列{an}的通项公式；（2）对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间（2m，2m+1）内的项的个数记为{bm}①求数列{bm}的通项公式；②记cm=222m

Question

已知等差数列{a_n}，其前n项和为S_n，若S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）对任意m∈N^*，将数列{a_n}中落入区间（2^m，2^m+1）内的项的个数记为{b_m}
①求数列{b_m}的通项公式；
②记c_m=(2)/(22m−1−bm)，数列{c_m}的前m项和为T_m，求所有使得等式(Tm−t)/(Tm+1−t)=(1)/(ct+1)的正整数m，t．

Answer 1

（1）∵等差数列{a_n}，其前n项和为S_n，若S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1，
∴4a₁-2d=0，a₁=d-1，∴a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1
（2）∵a_n=2n-1，
∴2n-1＞2^m，2n-1＜2^2m，
∴2^m-1+(1)/(2)＜n＜2^2m-1+(1)/(2)，
即项数2^2m-1-2^m-1，
∴①bm＝22m−1−2m−1
∵c_m=(2)/(22m−1−bm)，
∴C_m=(2)/(2m−1)，
∴c₁=2，(Cn+1)/(Cn)=(1)/(2)，
∴{c_n}是等比数列，数列{c_m}的前m项和为T_m=(2(1−((1)/(2))m))/(1−(1)/(2))
即Tm＝4(1−(1)/(2m))，
∵所有使得等式(Tm−t)/(Tm+1−t)=(1)/(ct+1)
∴（4-t）2^m=4+2^t-1
存在符合条件的正整数m=t=3，