线性代数问题,求帮助!(123...n-1n)(213...n-1n)(231...n-1n)……(234...1n)(234...n1)计算下列n阶行列式.求帮助!

Question

线性代数问题,求帮助!
(1 2 3 ... n-1 n)
(2 1 3 ... n-1 n)
(2 3 1 ... n-1 n)
……
(2 3 4 ... 1 n)
(2 3 4 ... n 1)
计算下列n阶行列式.求帮助!

Answer 1

将第2、3、...、n列全加到第一列,这样第一列全部变成
1+2+3+...+n=n(n+1)/2,然后从第一列中提出n(n+1)/2,行列式变为
1 2 3 ...n-1 n
1 1 3 ...n-1 n
1 3 1 ...n-1 n
.
1 3 4 ...1 n
1 3 4 ...n 1
前面有个系数是n(n+1)/2
然后第1列乘以-2加到第2列；
然后第1列乘以-3加到第3列；
.
然后第1列乘以-n加到第n列；
行列式化为下三角形行列式
1 0 0 ...0 0
1 -1 0 ...0 0
1 1 -2 ...0 0
.
1 1 1 ...-(n-2) 0
1 1 1 ...1 -(n-1)
因此最后结果是：[(-1)^(n-1)](n-1)!*n(n-1)/2
=[(-1)^(n-1)]n!*(n-1)/2