如图所示，一轻质弹簧竖直固定在地面上，上面连接一个质量m1=1.0kg的物体A，平衡时物体下表面距地面h1=40cm，弹簧的弹性势能E0=0.50J。在距物体m1正上方高为h=45cm

Question

如图所示，一轻质弹簧竖直固定在地面上，上面连接一个质量 m ₁ =1.0kg的物体 A ，平衡时物体下表面距地面 h ₁ = 40cm，弹簧的弹性势能 E ₀ =0.50J。在距物体 m ₁ 正上方高为 h = 45cm处有一个质量 m ₂ =1.0kg的物体 B 自由下落后，与物体 Ａ 碰撞并立即以相同的速度运动（两物体粘连在一起），当弹簧压缩量最大时，物体距地面的高度 h ₂ =6.55cm。 g =10m/s ² 。

已知弹簧的形变（拉伸或者压缩）量为 x 时的弹性势能 ，式中 k 为弹簧的劲度系数。求弹簧不受作用力时的自然长度 l ₀ ；

求两物体做简谐运动的振幅;

求两物体运动到最高点时的弹性势能。

Answer 1

【小题1】0.50m

【小题2】23.45cm

【小题3】6.0×10 ^-2 J

解析:

【小题1】设物体 A 在弹簧上平衡时弹簧的压缩量为 x ₁ ，弹簧的劲度系数为 k

根据力的平衡条件有        m ₁ g = k x ₁

        而

     解得： k =100N/m，  x ₁ =0.10m

     所以，弹簧不受作用力时的自然长度 l ₀ = h ₁ + x ₁ =0.50m

【小题2】两物体运动过程中，弹簧弹力等于两物体总重力时具有最大速度，此位置就是两物体粘合后做简谐运动的平衡位置

设在平衡位置弹簧的压缩量为 x ₂ ，则  （ m ₁ + m ₂ ） g = kx ₂ ， 解得： x ₂ =0.20m，

设此时弹簧的长度为 l ₂ ，则    l ₂ =l ₀ - x ₂     解得： l ₂ =0.30m

当弹簧压缩量最大时，是两物体振动最大位移处，此时弹簧长度为 h ₂ =6.55cm

    两物体做简谐运动的振幅 A=l ₂ - h ₂ =23.45cm

【小题3】设物体 B 自由下落与物体 A 相碰时的速度为 v ₁ ，则   

解得： v ₁ =3.0m/s，

    设 A 与 B 碰撞结束瞬间的速度为 v ₂ ，根据动量守恒   m ₂ v ₁ =（ m ₁ + m ₂ ） v ₂ ，

解得： v ₂ =1.5 m/s，

    由简谐运动的对称性，两物体向上运动过程达到最高点时，速度为零，弹簧长度为 l ₂ + A =53.45cm

碰后两物体和弹簧组成的系统机械能守恒，设两物体运动到最高点时的弹性势能 E _P ，则      

解得 E _P ＝6.0×10 ^-2 J。