铀238的半衰期是4.5×109年，假如一块矿石中含有1kg铀238，经45亿年后还剩多少铀238？假设发生衰变的铀238都变成了铅206，矿石中含有多少铅？这时铀铅比例是多少？写出矿石中铀、铅比例随时

Question

铀238的半衰期是4.5×10⁹年，假如一块矿石中含有1kg铀238，经45亿年后还剩多少铀238？假设发生衰变的铀238都变成了铅206，矿石中含有多少铅？这时铀铅比例是多少？写出矿石中铀、铅比例随时间变化的一般关系式，并说明能否根据这种铀铅比例判断出矿石的年龄．

Answer 1

设总质量（m₀）、剩余质量（m）、衰变时间（t），半衰期（T）之间关系为：
m=m0((1)/(2))((t)/(T))…①
将m₀=1kg，T₀=45亿年，t=45亿年，代人解得：
m=(m0)/(2)=0.5kg
故还剩余0.5 kg²³⁸U．
在衰变的过程中矿石生成的铅的原子核的个数与已经衰变的铀的原子核的个数相等，所以已经衰变的0.5kg铀转化为铅：
m′=(m0-m)×((206)/(238))=0.5×(206)/(238)=0.433kg
这时铀铅比例是：(m)/(m′)=(0.5)/(0.433)
矿石中铀、铅比例随时间变化的一般关系式：
(m)/(m′)=(m)/((m0-m)×(206)/(238))  ②
联立①②得：(m)/(m′)=(119×((1)/(2))(t)/(T))/(103×[1-((1)/(2))(t)/(T)])③
由③可知，在测量出矿石中铀、铅比例后，即可求出矿石的年龄．
答：经45亿年后还剩0.5kg铀238，假设发生衰变的铀238都变成了铅206，矿石中含有0.433kg铅；这时铀铅比例是(1)/(0.433)；矿石中铀、铅比例随时间变化的一般关系式为：(m)/(m′)=(119×((1)/(2))(t)/(T))/(103×[1-((1)/(2))(t)/(T)])，能根据这种铀铅比例判断出矿石的年龄．