数列1³+2³+3³+……+n³的求和公式.最终结果和证明过程.要有清晰的推导过程.

Question

数列1³+2³+3³+……+n³的求和公式.最终结果和证明过程.
要有清晰的推导过程.

Answer 1

1³+2³+3³+……+n³=1/4n²（n+1)²
证明：
当n=1时,等式左边=1³=1
等式右边=1/4*1²*（1+1）²=1
两边相等.
假设对n=k,k为任意正整数均有1³+2³+3³+……+k³=1/4k²（k+1)²
则当n=k+1时,等式左边等于1/4k²（k+1)²+(k+1)³=(k+1)²(1/4k²+k+1）=（k+1）²*1/4(k²+4k+4）=1/4(k+1)²（k+2）²
将n=k+1代入左边得1/4(k+1)²（k+2）²
所以当n=k+1的时候等式仍成立.
因此根据数学归纳法的原理：1³+2³+3³+……+n³=1/4n²（n+1)².得证.