请帮忙四年纪数学.11*12*13+12*13*14+13*14*15+------------100*101*102=?请老师帮忙

Question

请帮忙四年纪数学.11*12*13+12*13*14+13*14*15+------------100*101*102=?
请老师帮忙

Answer 1

答案：27582750
分析：每一项都是相邻三个自然数乘积，11*12*13=(12-1)*12*(12+1)=12(12-1)(12+1)=12*(12^2-1)=12^3-12，即每一项都等于n^3-n (n为中间的数，原式可化简：
12^3-12+13^3-13+14^3-14+......+101^3-101
=12^3+14^3+15^3+......+101^3-(12+13+14+......+101)
其中立方和公式：
1^3+2^3+3^3+4^3+......+n^3=1/4*n^2*(n+1)^2
12+13+14+15+......+101=(12+101)(101-12)/2
解法一：
原式=(12-1)*12*(12+1)+(13-1)*13*(13+1)+......+(101-1)*101*(101+1)
=12*(12^2-1)+13*(13^2-1)+.......+101*(101^2-1)
=12^3-12+13^3-13+......+101^3-101
=12^3+13^3+.......+101^3-(12+13+......+101)
=1/4*101^2*(101+1)^2-1/4*12^2*(12+1)^2-(12+101)(101-12)/2
=27582750
解法二：直接应用公式
1*2*3+2*3*4+3*4*5+......+n(n+1)(n+2)
=1/4*n*(n+1)*(n+2)*(n+3)
原式＝(1/4)*101*(101+1)(101+2)(101+3)-(1/4)*11*(11+1)(11+2)(11+3)
=27582750