用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是24cm，下底半径为16cm，母线长为48cm．（1）求矩形铁皮上边的最小值；（2）求该铁桶的容积．

Question

用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是24cm，下底半径为16cm，母线长为48cm．
（1）求矩形铁皮上边的最小值；
（2）求该铁桶的容积．

Answer 1

（1）如图，设圆台的侧面展开图的圆心角∠AOA′=α，OA=x，

由三角形相似可得(x)/(x+48)=(16)/(24)，
解得x=96 cm．
则(2π×24)/(2π(96+48))=(α)/(360°)，
解得α=60°，
所以△BOB′为正三角形，那么BB′=OB=96+48=144 cm．
由下图可知，矩形铁皮长边的最小值为144 cm．

（2）∵圆台的上底半径是24cm，下底半径为16cm，母线长为48cm．
∴圆台的高h=√(482-(24-16)2)=8√(35)cm，
故圆台的体积V=(1)/(3)π（24²+16²+24×16）×8√(35)=(9728)/(3)√(35)πcm³，
即该铁桶的容积为(9728)/(3)√(35)πcm³．