求（n+1)^½-（n-1)^½/(n+2)^½-(n-2)^½的极限我是用的分式上下同除以(n+2)^½之后求极限结果是0,但答案是1/2,但我又看不出来哪里错了,怎么回事?式子有点长,麻烦看的时候仔细一点,

Question

求（n+1)^½-（n-1)^½/(n+2)^½-(n-2)^½的极限
我是用的分式上下同除以(n+2)^½之后求极限结果是0,但答案是1/2,但我又看不出来哪里错了,怎么回事?式子有点长,麻烦看的时候仔细一点,

Answer 1

用的办法不对,你上下同除以(n+2)^½之后得到的分式是0/0,要洛必达,很不简便
标准做法为分子分母同时有理化
即
(n+1)^½-(n-1)^½
------------------------
(n+2)^½-(n-2)^½
[(n+1)^½+(n-1)^½] [(n+1)^½-(n-1)^½][(n+2)^½+(n-2)^½]
= ------------------------------------------------------------------------
[(n+1)^½+(n-1)^½] [(n+2)^½-(n-2)^½][(n+2)^½+(n-2)^½]
分子先算前两项,平方差公式,分母则是先算后两项
[(n+1)-(n-1)] [(n+2)^½+(n-2)^½]
= ---------------------------------------------
[(n+1)^½+(n-1)^½] [(n+2)-(n-2)]
2[(n+2)^½+(n-2)^½]
= -----------------------------
4[(n+1)^½+(n-1)^½]
分子分母同除n^(1/2)
[(1+2/n)^½+(1-2/n)^½]
= -----------------------------
2[(1+1/n)^½+(1-1/n)^½]
1+1
= --------- = 1/2
2[1+1]