微积分习题欲做一个底为正方形,容积为108立方米的长方体无盖容器,如何做才能使用料最省?

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微积分习题
欲做一个底为正方形,容积为108立方米的长方体无盖容器,如何做才能使用料最省?

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答案和解析

设这个长方体的底面正方形边长为x米,长方体的高为y米.
则此长方体的体积V=x²y
此长方体的表面积S=4xy+x²
根据题意设Z(x,y,k)=4xy+x²+k(x²y-108)
∵Zx'=4y+2x+2xyk
Zy'=4x+x²y
Zk'=x²y-108
（Zx',Zy',Zk'分别表示关于x,y,z的偏导数）
令4y+2x+2xyk=0.(1)
4x+x²y=0.(2)
x²y-108=0.(3)
解方程组(1),(2),(3)得x=6,y=3
故这个长方体的底面正方形边长为6米,长方体的高为3米时才能使用料最省

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